14
5월
2015

관찰 중심의 수학 원리

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관찰 중심의 수학에서는 선생님이 말로 개념을 설명하기에 앞서, 학생 스스로 관찰을 하고, 관찰의 결과를 토대로 하여, 그 뒤에 숨어있는 수학적 원리를 스스로 깨닫게 됩니다. 손으로 만져보고, 눈으로 관찰하고, 스스로 생각하는 것입니다.

[관찰 중심의 수학 원칙]

– 스스로 관찰하고, 깨닫는 순간을 되돌려 주는 교육
– 타인에게 의존하지 않고, 혼자서도 이해할 수 있는 효과적인 방식의 교육
– 수학의 개념을 직관적이고 구체적인 이미지로 제시하여 이해력을 높이는 교육
– 배우는 즐거움을 앗아가지 않는 교육

 

아이들이 손으로 만지고, 자유롭게 움직이면서 관찰할 수 있도록 카드 형태로 되어 있습니다. 카드는 일반 종이카드와 투명카드 두 가지 종류가 있습니다. 일반 종이 카드 앞면에는 숫자와 그에 대응되는 사물이나 수학적 표현이 그려져 있고, 뒷면에는 수학적 패턴이 그려져 있습니다.

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일반 종이 카드 앞면

 

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일반 종이 카드 뒷면

 

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투명 카드

 

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 놓으면 수학문제를 볼 수 있습니다. 여러 카드에서 원하는 카드를 골라 겹쳐 놓으면 학생 스스로 수학 문제를 손쉽게 낼 수 있습니다. 선생님이나 부모님이 문제를 내주고, 학생이 푸는 방식과는 확연히 다릅니다. 문제를 스스로 내면서도 즐거움을 얻게 됩니다.

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일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹치는 중

 

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일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 만든 문제

 

 일반카드 뒷면과 투명카드를 겹쳐보면 정답을 관찰할 수 있습니다. 수학적 패턴을 이미지화 시켰기 때문에 어린 아이들도 쉽게 개념을 인식할 수 있게 됩니다. 말로 설명하는 것과 눈으로 직접 보는 것에는 큰 차이가 있습니다. 기존의 동영상 수업 또는 교실 수업에서는 개별적인 설명과 이해가 불가능했다면, 이 방식은 학생별로 카드를 손에 쥐고 관찰하기 때문에 개별적인 이해가 가능합니다.

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일반 종이 카드 뒷면과 투명카드를 겹치는 중

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4+2에 대한 정답을 확인. 4에서 2가 증가하여 6에 도착한 것을 확인

 더하기(플러스)는 오른쪽 방향으로 수가 증가하는 쪽으로 이동하고, 빼기(마이너스)는 왼쪽 방향으로 수가 줄어드는 쪽으로 이동합니다. 이러한 패턴을 카드를 겹쳐가면서 관찰할 수 있습니다. 초등1학년 이하의 어린이도 마이너스의 개념을 눈으로 확인함으로써 쉽게 이해할 수 있게 됩니다.

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4-6에 대한 정답을 확인. 4에서 6이 감소하여 -2에 도착한 것을 확인

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4+4-7에 대한 문제를 확인

 

초등수학에서 가장 문제가 되는 것이 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 분수 연산에 대해서 기계적이고 반복적인 연습을 질릴만큼 한 다는 것입니다. 그렇다고 안 할 수도 없지만 정도가 지나친 측면이 없지 않습니다. 게다가 정확히 이해하지 못한 상태에서 문제를 풀기 때문에 깨닫는 즐거움 조차 있을 수 없습니다.

구구단을 외우지 않고, 관찰을 통해서 익힐 수도 있습니다. 아이들은 호기심을 갖고 관찰을 통해 스스로 깨달은 것에는 기가막힌 기억력을 발휘합니다. 또한 글이나 말 보다는 이미지(그림)로 학실하게 확인한 패턴에 대해서는 오래도록 기억합니다.

구구단 중 7단의 경우는 7씩 늘어나는 양을 나타냅니다. 특별히 unit square(단위 정사각형) 7층으로 쌓여 있고, 그것이 오른쪽으로 반복해서 늘어납니다.

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일반종이카드 뒷면. 7씩 늘어나는 사각형 모양

 

투명카드에는 3씩 위로 늘어나는 모양으로 숫자가 적혀 있습니다. 구구단 중에 3단에 해당하는 것입니다. 아이들은 손으로 만지고, 눈으로 보면서 자연스럽게 3씩 늘어나는 숫자를 익히게 됩니다. 노트나 책받침에 적혀있는 구구단을 보면 숨막혀하는 아이들도 이런 카드를 보면 부담없이 곱하기의 패턴을 익힐 수 있께 됩니다.

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투명카드. 3씩 늘어나는 직선 모양

 

 

이제 일반 종이카드 뒷면과 투명카드를 겹쳤을 때 만들어지는 새로운 패턴을 보게 됩니다. 완전히 겹치게 되면 7 x 3은 21이란 숫자에서 동그란 원 모양의 점을 만들게 됩니다. 아이들은 이런 미세한 차이를 관찰하면서 원리를 터득합니다. 면적의 개념, 좌표의 개념까지 자연스럽게 확장할 수 있습니다.

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일반 종이 카드와 투명카드를 겹치는 중

 

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일반카드와 투명카드를 겹쳤을 때 21에서 원이 만들어짐

 

 

수를 좋아하는 사람들의 특징 중에 하나는 수가 어떻게 구성되어 있는지 궁금해하고, 분해하기를 좋아합니다. 다시 말해서 소인수분해를 즐겁게 합니다. 어떤 약수들이 있고, 약수의 개수가 몇 개인지를 스스로 탐구합니다. 수에 대한 이러한 호기심을 촉발시킬 수 있도록 교육이 이루어져야 하는데, 아쉽게도 호기심이 생길 수 없는 기계적인 학습이 이루어지고 있습니다.

16은 3가지 모양의 직사각형을 만들 수 있습니다. 직사각형은 곱하기로 표현될 수 있고, 이것을 달리 표현하면 약수가 될 수 있다는 뜻입니다. 2|16을 영어로는 2  divides 16이라고 읽고 “2는 16을 나눈다”라는 뜻을 갖습니다. 즉 2는 16의 약수라는 것이지요. 5와 같이 하나의 직사각형 모양만 갖는 것을 소수(prime)라고 합니다. 소수는 1과 자기자신만을 약수로 갖는 수인데, 이런 설명으로는 아이들이 이해하기도 힘들고, 호기심을 갖기도 힘듭니다.

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일반 종이 카드 앞면에 16의 약수를 표현

 

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일반 종이 카드 뒷면에 16을 길이로 표현

 

 

이제 두 카드를 겹쳐 보면 16 ÷ 4의 결과를 볼 수 있습니다. 16이라는 길이를 4등분 했을 때 그 중 하나의 길이를 나타냅니다.

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일반카드와 투명카드가 겹치는 중

 

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16÷4의 결과가 4라는 길이를 나타냄

 

 

초등학교 수학에서 분수야말로 수포자를 만드는 결정적인 역할을 합니다. 자연수의 사칙연산은 직관적으로 이해하기 수월한 반면에 분수의 사칙연산은 그렇지 못합니다. 분수의 사칙연산도 누구나 이해할 수 있게 그림으로 명확한 그림을 보여줄 수 있습니다.

분수의 근본 의미는 분자를 분모로 나눈다는 의미입니다. 빵 5개를 8명이 나누어 먹었을 때 한 명이 얼마만큼의 빵을 먹을 수 있느냐의 문제이니다. 한 명이 1개씩 먹지 못할 것입니다. 또 하나의 의미는 하나의 양을 동일한 크기로 나누었을 때 단위분수가 되는데, 단위분수가 몇 개가 되느냐의 문제입니다.

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일반 종이 카드의 앞면. 분수와 나누기의 관계

 

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일반 종이 카드 뒷면. 8개로 나누었을 때 5조각

 

 

일반 종이 카드 앞면과 투명카드를 겹쳐 놓으면 문제를 만들 수 있습니다. 두 분 수 중에 어떤 것이 클까요? 분수는 양에 대한 표현이기에 통분하지 않고도 감각적으로 그 양을 추측할 수 있어야 합니다. 그런데 애석하게도 기계적인 학습을 한 결과 통분하지 않으면 그 양을 가늠조차 못하는 아이들이 굉장히 많습니다. 분수를 하나의 양이 아닌 두개의 수라고 생각하는 학생도 있습니다.

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일반 종이 카드와 투명카드를 겹친 모습

 

일반 종이 카드의 뒷면과 투명카드를 겹쳤을 때 정답을 확인할 수 있습니다. 파이 모양으로도 빨간 부분이 파란 부분을 덮고, 조금 더 많은 부분을 차지합니다. 아래 부분의 직선의 길이로도 마찬가지 결과를 관찰할 수 있습니다. 카드를 맞대어 보면서 관찰을 통해 분수의 양감을 느낄 수 있게 되는 것입니다.

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일반카드와 투명카드가 겹치는 중

 

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빨간 부분이 약간 크다는 것을 학인

 

 

이외에도 관찰을 통해 배울 수 있는 다양한 단계들의 수학카드가 있습니다. 마이너스와 마이너스를 곱하면 왜 플러스가 되는지, a + a = 2a가 되는 원리 등을 눈으로 학인함으로써 개념을 확고하게 익힐 수 있습니다. 더 나아가 방정식과 함수, 비례식, 삼각비, 삼각함수는 물론 미적분까지 관찰을 통해서 누구나 쉽게 익힐 수 있다고 생각합니다. 이 땅의 수학교육에 혁신적 대안 모델을 연구하고, 적용하여 일반화되기까지 계속해서 정진하겠습니다.

 

관찰 중심의 수학 원리, 데카르 공식 페이지 : http://www.descar.net

 

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